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    第四章 高阶微分方程

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    第四章 高阶微分方程

    一.一般的概念和性质 一般的n 阶线性微分方程具有如下的形式:

    )()()

    ()

    (11

    1

    1t f x t a dt dx t a dt x

    d t a dt

    x d n n n n n n

    =++++--- ,

    (4.1)

    0)()()

    (11

    1

    1=++++---x t a dt

    dx t a dt

    x

    d

    t a dt

    x d n n n n n

    n .

    (4.2)

    其中),,2,1()

    (n i t a i =和)(t f 都是某区间],[b a 上的连续函数. (4.2)称为齐线性(微分)方程, (4.1)

    称为非齐线性(微分)方程. (4.2)也称为(4.1)的对应齐方程.

    1.函数组的线性相关与线性无关. 区间],[b a 上的k 个函数)(),(),(21t x t x t x k 称为是线性相关的, 如果存在不全为零的常数k c c c ,,21, 使得在],[b a 上恒成立

    0)()()(2211≡+++t x c t x c t x c k k .

    如果这样的常数不存在, )(),(),(21t x t x t x k 称为是线性无关的.

    2.(伏)郎斯基行列式. 如果函数)(),(),(21t x t x t x k 还有直到1-k 阶的导数, 行列式

    )

    ()()()()()()()()

    ()](),(),([)()

    1()

    1(2

    )

    1(1

    212121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x W t W k k

    k k k k k ---'''=

    =

    称为这些函数的伏郎斯基行列式或郎斯基行列式.

    典型例题:已知123()4,()4,()x

    y x y x x y x e x ==-=+是某
    一三阶齐线性方程的解, 试求 )(),(21x y x y 和)(3x y 的伏朗斯基行列式123[,,]()W y y y x . (见模拟试题)

    y x y x x y x e x ==-=+是某一三阶齐线性方程的解, 试求 )(),(21x y x y 和)(3x y 的伏朗斯基行列式123[,,]()W y y y x . (见模拟试题)

    3.基本解组. 齐线性方程(

    4.2)的n 个线性无关解称为(4.2)的一个基本解组。

    4.线性方程解的存在唯一性(102页定理1)

    !定理1对于任一],[0b a t ∈及任意的n 个常数)1(0)1(00,,,-n x x x , 线性方程(4.1)存在唯一

    解)(t x ?=定义在],[b a , 且满足初始条件:

    )

    1(0

    1

    01

    )1(0

    000)

    (,

    ,)(,

    )(---===n n n x dt

    t d

    x

    dt

    t d x t ??? . (4.3)

    !典型例题:4≡y

    是满足方程3

    4228y x y xy y ''''''+++=和初始条件(

    )的唯一解.

    (见模拟试题)

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